KMP算法详解

KMP算法是拿来处理字符串匹配的。换句话说,给你两个字符串,你需要回答,B串是否是A串的子串(A串是否包含B串)。比如,字符串A="I'm matrix67",字符串B="matrix",我们就说B是A的子串。

解决这类问题,通常我们的方法是枚举从A串的什么位置起开始与B匹配,然后验证是否匹配。

假如A串长度为n,B串长度为m,那么这种方法的复杂度是O (mn)的。虽然很多时候复杂度达不到mn(验证时只看头一两个字母就发现不匹配了),但我们有许多“最坏情况”,比如,A= "aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaab",B="aaaaaaaab"。我们将介绍的是一种最坏情况下O(n)的算法(这里假设 m<=n),即传说中的KMP算法。 之所以叫做KMP,是因为这个算法是由Knuth、Morris、Pratt三个提出来的,取了这三个人的名字的头一个字母。网上的讲法基本上都涉及到“移动(shift)”、“Next函数”等概念,这非常容易产生误解(至少一年半前我看这些资料学习KMP时就没搞清楚)。在这里,我换一种方法来解释KMP算法。

假如,A="abababaababacb",B="ababacb",我们来看看KMP是怎么工作的。我们用两个指针i和j分别表示,A[i-j+ 1..i]与B[1..j]完全相等。也就是说,i是不断增加的,随着i的增加j相应地变化,且j满足以A[i]结尾的长度为j的字符串正好匹配B串的前 j个字符(j当然越大越好),现在需要检验A[i+1]和B[j+1]的关系。当A[i+1]=B[j+1]时,i和j各加一;什么时候j=m了,我们就说B是A的子串(B串已经整完了),并且可以根据这时的i值算出匹配的位置。当A[i+1]<>B[j+1],KMP的策略是调整j的位置(减小j值)使得A[i-j+1..i]与B[1..j]保持匹配且新的B[j+1]恰好与A[i+1]匹配(从而使得i和j能继续增加)。我们看一看当 i=j=5时的情况。

i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

A = a b a b a b a a b a b …

B = a b a b a c b

j = 1 2 3 4 5 6 7

此时,A[6]<>B[6]。这表明,此时j不能等于5了,我们要把j改成比它小的值j'。j'可能是多少呢?仔细想一下,我们发现,j'必须要使得B[1..j]中的头j'个字母和末j'个字母完全相等(这样j变成了j'后才能继续保持i和j的性质)。这个j'当然要越大越好。在这里,B [1..5]="ababa",头3个字母和末3个字母都是"aba"。而当新的j为3时,A[6]恰好和B[4]相等。于是,i变成了6,而j则变成了 4:

i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……

A = a b a b a b a a b a b …

B = a b a b a c b

j = 1 2 3 4 5 6 7

从上面的这个例子,我们可以看到,新的j可以取多少与i无关,只与B串有关。我们完全可以预处理出这样一个数组P[j],表示当匹配到B数组的第j个字母而第j+1个字母不能匹配了时,新的j最大是多少。P[j]应该是所有满足B[1..P[j]]=B[j-P[j]+1..j]的最大值。 再后来,A[7]=B[5],i和j又各增加1。这时,又出现了A[i+1]<>B[j+1]的情况:

i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……

A = a b a b a b a a b a b …

B = a b a b a c b

j = 1 2 3 4 5 6 7

由于P[5]=3,因此新的j=3:

i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……

A = a b a b a b a a b a b …

B = a b a b a c b

j = 1 2 3 4 5 6 7

这时,新的j=3仍然不能满足A[i+1]=B[j+1],此时我们再次减小j值,将j再次更新为P[3]:

i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……

A = a b a b a b a a b a b …

B = a b a b a c b

j = 1 2 3 4 5 6 7

现在,i还是7,j已经变成1了。而此时A[8]居然仍然不等于B[j+1]。这样,j必须减小到P[1],即0:

i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……

A = a b a b a b a a b a b …

B = a b a b a c b

j = 0 1 2 3 4 5 6 7

终于,A[8]=B[1],i变为8,j为1。事实上,有可能j到了0仍然不能满足A[i+1]=B[j+1](比如A[8]="d"时)。因此,准确的说法是,当j=0了时,我们增加i值但忽略j直到出现A[i]=B[1]为止。 这个过程的代码很短(真的很短),我们在这里给出:

程序代码

j:=0;     
 for i:=1 to n do
 begin
    while (j>0) and (B[j+1]<>A[i]) do j:=P[j];
    if B[j+1]=A[i] then j:=j+1;
    if j=m then
    begin
        writeln('Pattern occurs with shift ',i-m);
        j:=P[j];
    end;
end;

最后的j:=P[j]是为了让程序继续做下去,因为我们有可能找到多处匹配。 这个程序或许比想像中的要简单,因为对于i值的不断增加,代码用的是for循环。因此,这个代码可以这样形象地理解:扫描字符串A,并更新可以匹配到B的什么位置。

现在,我们还遗留了两个重要的问题:一,为什么这个程序是线性的;二,如何快速预处理P数组。 为什么这个程序是O(n)的?其实,主要的争议在于,while循环使得执行次数出现了不确定因素。我们将用到时间复杂度的摊还分析中的主要策略,简单地说就是通过观察某一个变量或函数值的变化来对零散的、杂乱的、不规则的执行次数进行累计。KMP的时间复杂度分析可谓摊还分析的典型。我们从上述程序的j 值入手。每一次执行while循环都会使j减小(但不能减成负的),而另外的改变j值的地方只有第五行。每次执行了这一行,j都只能加1;因此,整个过程中j最多加了n个1。于是,j最多只有n次减小的机会(j值减小的次数当然不能超过n,因为j永远是非负整数)。这告诉我们,while循环总共最多执行了n次。按照摊还分析的说法,平摊到每次for循环中后,一次for循环的复杂度为O(1)。整个过程显然是O(n)的。这样的分析对于后面P数组预处理的过程同样有效,同样可以得到预处理过程的复杂度为O(m)。 预处理不需要按照P的定义写成O(m2)甚至O(m3)的。我们可以通过P[1],P[2],...,P[j-1]的值来获得P[j]的值。对于刚才的B="ababacb",假如我们已经求出了P[1],P[2],P[3]和P[4],看看我们应该怎么求出P[5]和P[6]。P[4]=2,那么P [5]显然等于P[4]+1,因为由P[4]可以知道,B[1,2]已经和B[3,4]相等了,现在又有B[3]=B[5],所以P[5]可以由P[4] 后面加一个字符得到。P[6]也等于P[5]+1吗?显然不是,因为B[ P[5]+1 ]<>B[6]。那么,我们要考虑“退一步”了。我们考虑P[6]是否有可能由P[5]的情况所包含的子串得到,即是否P[6]=P[ P[5] ]+1。这里想不通的话可以仔细看一下:

1 2 3 4 5 6 7

B = a b a b a c b

P = 0 0 1 2 3 ?

P[5]=3是因为B[1..3]和B[3..5]都是"aba";而P[3]=1则告诉我们,B[1]和B[5]都是"a"。既然P[6]不能由P [5]得到,或许可以由P[3]得到(如果B[2]恰好和B[6]相等的话,P[6]就等于P[3]+1了)。显然,P[6]也不能通过P[3]得到,因为B[2]<>B[6]。事实上,这样一直推到P[1]也不行,最后,我们得到,P[6]=0。 怎么这个预处理过程跟前面的KMP主程序这么像呢?其实,KMP的预处理本身就是一个B串“自我匹配”的过程。它的代码和上面的代码神似:

程序代码

P[1]:=0;
j:=0;
for i:=2 to m do
begin
    while (j>0) and (B[j+1]<>B[i]) do j:=P[j];
    if B[j+1]=B[i] then j:=j+1;
    P[i]:=j;
end;

最后补充一点:由于KMP算法只预处理B串,因此这种算法很适合这样的问题:给定一个B串和一群不同的A串,问B是哪些A串的子串。

串匹配是一个很有研究价值的问题。事实上,我们还有后缀树,自动机等很多方法,这些算法都巧妙地运用了预处理,从而可以在线性的时间里解决字符串的匹配。我们以后来说。

2011-10-19 02:42213Algorithm